L'une des caractéristiques les plus intéressantes du cerveau humain est sa capacité à extraire des principes généraux de cas spécifiques. Selon de nombreux philosophes et psychologues, la généralisation est un aspect important de la cognition, qui nourrit et développe en même temps les pouvoirs de réflexion du cerveau. Le philosophe allemand Hegel l'exprime ainsi: «Une idée est toujours une généralisation, et la généralisation est une propriété de la pensée. Généraliser signifie penser "(extrait de La Philosophie du Droit , 1821).
L'aspect le plus stimulant de la résolution de casse-tête est peut-être le fait que, souvent, un genre particulier de casse-tête nous pousse à chercher un modèle général caché ou un principe structurel inhérent aux différentes versions du puzzle. Dans ce blog, c'est le genre bien connu de puzzles "correspondants" qui sera utilisé pour montrer comment cette capacité innée du cerveau se déploie – une capacité qui est présente en chacun de nous, même ceux qui n'aiment pas la résolution de casse-tête.
Commençons par un simple puzzle de ce type:
Dans une boîte il y a 20 boules de billard, 10 blanches et 10 noires, éparpillées au hasard dans la boîte. Ils ressentent tous la même chose. Avec un bandeau sur les yeux, quel est le plus petit nombre de balles que vous devez tirer pour obtenir une paire de balles de couleur: c'est-à-dire deux balles blanches ou deux balles noires?
Beaucoup de nouveaux arrivants à ce genre de puzzle ont tendance à raisonner quelque peu comme suit:
Si la première balle que je tire est blanche, alors j'en aurai besoin d'une autre blanche pour l'égaler. Mais la prochaine balle pourrait être noire, comme pourrait l'être celle qui suivra, et celle qui suivra, et ainsi de suite. Donc, pour être sûr que je reçois un match, je dois (en principe) enlever toutes les boules noires de la boîte-10 en tout. Le prochain que j'enlèverai après sera alors nécessairement blanc, puisque c'est la couleur des balles qui restent dans la boîte. Y compris la première boule blanche que j'ai retirée, les dix balles noires que j'ai dû retirer, et la seule boule blanche qui correspond finalement, 12 est le nombre minimum de balles que je devrai tirer.
Cette ligne de raisonnement, cependant, ne parvient pas à saisir ce que le puzzle nécessite vraiment de faire – pour faire correspondre la couleur de deux balles, pas seulement la couleur de la première tirée, qui s'est avérée être blanche. Le raisonnement correct va comme ceci. Supposons que la première boule que vous tirez soit en fait blanche. Si vous avez de la chance, la prochaine balle que vous dessinez sera également blanche, et c'est fini! Mais vous ne pouvez pas assumer ce scénario basé sur la chance. Vous devez, au contraire, supposer le pire scénario, c'est-à-dire que la prochaine balle que vous retirez est noire. Ainsi, après deux tirages, vous aurez sorti une boule blanche et une noire de la case, dans le pire des cas. Évidemment, vous auriez pu sortir une boule noire d'abord et une blanche une seconde. Le résultat final aurait été le même: une balle blanche et une noire après deux matchs nuls.
Maintenant, voici le point crucial de la solution: la prochaine balle que vous tirerez de la boîte sera, bien sûr, soit blanche soit noire. Peu importe la couleur de cette troisième balle, elle correspond à la couleur de l'une des deux déjà tirées. S'il est blanc, il va correspondre à la balle blanche à l'extérieur de la boîte; s'il est noir, il va correspondre à la balle noire en dehors de la boîte. Vous aurez alors une paire de boules de couleur assortie. Donc, le plus petit nombre de balles que vous aurez besoin de tirer de la boîte afin d'assurer une paire de balles assorties est de trois .
Ensuite, ajoutons une couleur au mélange.
Dans une boîte il y a 30 boules de billard, 10 blanches, 10 noires et 10 rouges éparpillées au hasard dans la boîte. Encore une fois, ils ressentent tous la même chose. Avec un bandeau sur les yeux, quel est le plus petit nombre de balles que vous devez tirer cette fois pour obtenir une paire de balles qui correspond: c'est-à-dire deux balles blanches ou deux balles noires ou deux balles rouges?
Encore une fois, augmentons le mélange de couleurs d'un de plus.
Dans une boîte il y a 40 boules de billard, 10 blanches, 10 noires, 10 rouges et 10 vertes éparpillées au hasard dans la boîte. Encore une fois, ils ressentent tous la même chose. Avec un bandeau sur les yeux, quel est le plus petit nombre de balles que vous devez tirer pour obtenir une paire de balles qui correspond: c'est-à-dire deux balles blanches ou deux balles noires ou deux balles rouges ou deux balles vertes?
Allons-y une dernière fois.
Dans une boîte il y a 50 boules de billard, 10 blanches, 10 noires, 10 rouges, 10 vertes et 10 bleues éparpillées au hasard dans la boîte. Encore une fois, ils ressentent tous la même chose. Avec un bandeau sur les yeux, quel est le plus petit nombre de balles à dégainer pour obtenir une paire de balles qui correspond: c'est-à-dire deux balles blanches ou deux balles noires ou deux balles rouges ou deux balles vertes ou deux balles bleues?
À ce stade, voyez-vous un motif? Qu'Est-ce que c'est? Est-ce que changer le nombre de boules d'une couleur change le motif? C'est-à-dire, que se passe-t-il si le nombre de balles dans le dernier casse-tête est 10 blanc, 9 noir, 6 rouge, 4 vert et 1 bleu ?
Voici une version intéressante et plus délicate de ce type de puzzle:
S'il y a 6 paires de chaussures noires et 6 paires de chaussures blanches dans une boîte, tout est mélangé, quel est le nombre minimum de tirages que vous devez faire avec un bandeau sur les yeux pour être sûr d'avoir une paire de chaussures noires ou blanches?
En conclusion, je crois que l'un des aspects les plus importants de la résolution de casse-tête est sa capacité à stimuler et à améliorer spontanément les processus de généralisation. Il semble que le cerveau humain ne peut pas s'arrêter au particulier, mais est programmé pour extraire des principes de structure générale ou de conception dans l'information qu'il traite. Comme l'historien anglais Thomas Babington Macaulay Observé dans la Revue d'Edimbourg de 1825, «la généralisation est nécessaire à l'avancement des connaissances». La résolution d'énigmes telles que celles présentées ici peut montrer pourquoi il en est ainsi et pourquoi cela nous vient si naturellement.
Réponses
Le raisonnement pour la version à 30 billes et trois couleurs est le même. Vous commencez par supposer le pire des scénarios. Qu'est-ce que c'est? Il tire trois boules de trois couleurs différentes: blanc, noir et rouge. Maintenant, la quatrième boule que vous dessinez, quelle que soit sa couleur, correspondra à l'une des trois couleurs en dehors de la boîte, car elle ne peut être que blanche, noire ou rouge.
Le raisonnement pour la version à 40 billes et à quatre couleurs est exactement le même. Vous commencez par supposer le pire scénario, qui consiste à tirer quatre balles de quatre couleurs différentes: blanc, noir, rouge et vert. La cinquième boule que vous dessinez, cependant, correspondra à l'un de ces quatre hors de la boîte.
Inutile de dire que le raisonnement pour la version à 50 billes et à cinq couleurs est également le même. Vous commencez par supposer le pire des scénarios. Pour cette version, cela consiste à dessiner cinq balles de cinq couleurs différentes: blanc, noir, rouge, vert et bleu. La sixième balle que vous dessinez, cependant, correspond à l'un de ces cinq hors de la boîte.
Quel est le schéma général? Quand il y a deux couleurs de balles dans la boîte, nous avons besoin de trois tirages pour obtenir un match; quand il y en a trois, nous avons besoin de quatre tirages; quand il y en a quatre, il nous en faut cinq; quand il y en a cinq, il nous en faut six. Ce modèle va continuer encore et encore parce que le raisonnement est le même dans tous les cas. Le motif est, simplement, qu'un tirant de plus que le nombre de couleurs est requis pour s'assurer qu'une paire de boules de couleur correspondante est tirée.
La modification du nombre de billes des couleurs ne modifie pas le modèle de solution. Voici pourquoi. Disons qu'il y a 10 blancs et seulement 1 noir dans la boîte. Dans le pire des cas, vous allez toujours tirer 1 blanc et 1 noir. Cependant, le troisième tirage produira nécessairement une balle blanche – c'est la seule couleur de boules laissée à l'intérieur de la boîte – pour correspondre à la balle blanche déjà tirée. Le même genre de raisonnement peut être utilisé encore et encore. Donc, la règle générale reste, peu importe le nombre de boules sont impliqués pour chaque couleur.
La réponse au problème de la chaussure est 13. Il y a 24 chaussures dans la boîte: 6 paires de chaussures noires = 12 chaussures noires; 6 paires de chaussures blanches = 12 chaussures blanches. Sur les 24, la moitié sont à droite et la moitié à gauche. Dans le pire des cas, nous pourrions choisir les 12 chaussures de pied gauche (dont 6 noires et 6 blanches) ou les 12 paires de chaussures de pied droit (dont 6 noires et 6 blanches). La treizième chaussure dessinée, cependant, correspondra à l'un de ces douze.
Plus précisément, supposons que nous avons tiré les 12 chaussures de pied gauche-6 noires et 6 blanches. Le treizième tirage ne peut produire qu'une chaussure de pied droit, car il n'y a plus de chaussures de pied gauche dans la boîte. Et, bien sûr, il peut être noir ou blanc. Dans les deux cas, il s'agira d'une couleur correspondante. Supposons que nous ayons tiré les 12 chaussures de pied droit-6 noires et 6 blanches. Le treizième tirage ne peut produire qu'une chaussure de pied gauche car il n'y a plus de chaussures de pied droit dans la boîte. Et ce sera noir ou blanc. Dans les deux cas, il s'agira d'une couleur correspondante.
